先写一下它的标准定义,虽然有点儿晦涩难懂,但它毕竟是标准,是复合函数最准确的表述。
复合函数的定义:
如果y是u的函数,即y=f(u),同时u是x的函数,即u=g(x),那么把y=f(g(x))叫做复合函数;g(x)叫做内层函数,f(u)叫做外层函数。
这个定义确实有点儿不太好懂,不要紧,下面给出一个更简单的说法。
观察这三个函数:
y=f(u)
u=g(x)
y=f(g(x))
容易发现,本来函数f(u)中的自变量是u,现在函数g(x)把函数f(u)中的自变量u给替换了,就变成了函数f(g(x)),它就称为复合函数。
简单地说,用一个函数把另一个函数的自变量x替换掉,得到的新函数就是复合函数。
例如y=(2x-1)³就是一个复合函数,因为函数y=2x-1把函数y=x³的自变量x给替换掉了;其中y=2x-1叫内层函数,y=x³叫外层函数。
再如函数y=lg(x²-1)也是一个复合函数,因为函数y=x²-1把函数y=lgx的自变量x给替换了;其中,y=x²-1叫内层函数,y=lgx叫外层函数。
区分复合函数和函数相乘:
函数相乘好理解,就是把两个不同的函数乘在一起,例如,y=(x-1)x²,它是由函数y=x-1和y=x²相乘得到的,这两个函数的自变量x都没有被对方的函数表达式所替换。
而函数y=(x-1)²就是一个复合函数,因为函数y=x-1把函数y=u²的自变量u给替换掉了。
现在明白什么是复合函数了吗?试试做一下下面这道选择题。
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答案:1。只有③是复合函数。①和④明显都是两个函数相乘;对于②:对数的真数部分是一个二次函数,容易得到这个二次函数恒小于0,所以②这个“函数”的定义域是空集,这不符合函数的定义,所以它根本不是函数,更不是复合函数。
复合函数的定义域:
求复合函数的定义域,就是求自变量x的取值范围,简单。
求复合函数的值域:
先求内层函数的值域,再把这个值域作为外层函数的定义域,以此求得的外层函数的值域就是复合函数的值域。
例如求复合函数y=lg(x²+10)的值域:内层函数y=x²+10的值域为[10,+∞),把这个值域当做外层函数y=lgu的自变量u的取值范围,即u≥10,此时可求得外层函数y=lgu值域为[1,+∞),则复合函数y=lg(x²+10)的值域就是[1,+∞)。
复合函数的增减性:
当内层函数g(x)和外层函数f(u)都是增函数,或者都是减函数时,复合函数y=f(g(x))是增函数。
当内层函数g(x)和外层函数f(u)其中一个是增函数,另一个是减函数时,复合函数y=f(g(x))是减函数。
复合函数的奇偶性:
当内层函数是偶函数时,不论外层函数如何,复合函数都是偶函数。
当内层函数是奇函数时,若外层函数也是奇函数,则复合函数是奇函数,若外层函数是偶函数,在复合函数是偶函数。
孙老师微信公众号:slsh2018 名称:高中数学爱做初中数学题返回搜狐,查看更多